Question

如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的圆O分别交两腰于D、E，求证：
（1）AD=AE；
（2）若D是AB中点，则△ABC是等边三角形．

Answer

（1）首先连接BE、CD，即可得△ABC是等腰三角形，又由BC是⊙O直径，易证得△BDC≌△CEB，即可证得AD=AE；
（2）若D是AB中点，由CD⊥AB，DE⊥AC，可证得△BCD≌△CDA，可得BC=CA，又由AB=AC，即可得△ABC是等边三角形．
证明：（1）连接BE、CD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C，AB=AC，…（1分）
∵BC是⊙O直径，
∴∠BDC=∠CEB=90°，…（2分）
∴△BDC≌△CEB，…（3分）
∴BD=CE，…（4分）
∴AD=AE；…（5分）

（2）若D是AB中点，
∵BC是直径，
∴CD⊥AB，…（6分）
∴BC=CA，…（9分）
而AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．…（10分）