Question

如图，已知直线l的函数表达式为y=-x+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点Q，P移动的时间为t秒
（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）当t=______时，△APQ与△AOB相似；
（3）（2）中当△APQ与△AOB相似时，线段PQ所在直线的函数表达式为______．

Answer

（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，即与x轴的交点y=0，与y轴的交点x=0，求出A．B两点的坐标；
（2）当移动的时间为t时，根据△APQ∽△AOB，利用三角形的相似比求出t的值；
（3）当t=秒时，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=，即可求出P（，0），进而求出线段PQ所在直线的函数表达式；
当t=时PA=，BQ=，OP=，有P（，0），设Q点的坐标为（x，y），同上可求出Q的坐标，设PQ的表达式为y=kx+b，把P，Q两点的坐标分别为代入即可求出PQ的表达式．
【解析】
（1）由y=-x+8，
令x=0，得y=8；
令y=0，得x=6．
A，B的坐标分别是（6，0），（0，8）；

（2）由BO=8，AO=6，根据勾股定理得AB==10．
当移动的时间为t时，AP=t，AQ=10-2t．
∵∠QAP=∠BAO，当=时，
△APQ∽△AOB，
=，
∴t=（秒）．
∵∠QAP=∠BAO，
∴当=时，
△APQ∽△AOB，
∴=，
∴t=（秒），
∴t=秒或秒，经检验，它们都符合题意，此时△AQP与△AOB相似；

（3）当t=秒时，PQ∥OB，PQ⊥OA，PA=，
∴OP=，
∴P（，0），
∴线段PQ所在直线的函数表达式为x=，
当t=时PA=，BQ=，OP=，
∴P（，0），
设Q点的坐标为（x，y），则有=，
∴=，
∴x=，
当x=时，y=-×+8=，
∴Q的坐标为，
设PQ的表达式为y=kx+b，
则，
∴，
∴PQ的表达式为y=x-．