Question

已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．
（1）求m的值及这个二次函数的解析式；
（2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；
（3）若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．
①设线段DE的长为h，当0＜a＜3时，求h与a之间的函数关系式；
②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将A点坐标分别代入抛物线的直线，便可求出抛物线的解析式和m的值；
（2）使△QAB的周长最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B点关于x轴的对称点B′，当A、Q、B′三点在一条直线上时，△QAB的周长最小；
（3）①根据P点坐标分别求出DE两点坐标，便可求出h与a之间的函数关系式；
②存在，P点坐标为（，0），（，0）．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）2，
∵点A（3，4）在抛物线上，则4=a（3-1）2，
解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x-1）2
∵点A（3，4）也在直线y=x+m，即4=3+m，
解得m=1；

（2）直线y=x+1与y轴的交点B的坐标为B（0，1），
B点关于x轴的对称点B′点的坐标为B′（0，-1），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
将A、B′两点坐标代入y=kx+b，
解得k=，b=-1，
∴设直线AB的解析式为y=x-1，
当A、Q、B′三点在一条直线上时，
AQ+BQ的值最小，即△QAB的周长最小，
Q点即为直线AB′与x轴的交点．
Q点坐标为

（3）①已知P点坐标为P（a，0），则E点坐标为E（a，a2-2a+1），D点坐标为D（a，a+1），
h=DE=yD-yE=a+1-（a2-2a+1）=-a2+3a，
∴h与a之间的函数关系式为h=-a2+3a（0＜a＜3）（3分）

②存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形
理由是∵M（1，0），
∴把x=1代入y=x+1得：y=2，
即N（1，2），
∴MN=2，
要使四边形NMED是平行四边形，必须DE=MN=2，
由①知DE=|-a2+3a|，
∴2=|-a2+3a|，
解得：a1=2，a2=1，a3=，a4=，
∴（2，0），（1，0）（因为和M重合，舍去）（，0），（，0）
∴P的坐标是（2，0），（，0），（，0）．