Question

如图，△ABC中AB的垂直平分线交AC、AB于点P、Q，若PC=2PA，AB=，∠A=45°，则PC=    ，BC=    ．

Answer

根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等及已知条件“∠A=45°”证明△APB是等腰直角三角形，然后在△PAB中利用勾股定理求得PA的长度是2，从而求得PC=4；在直角三角形PCB中，根据勾股定理求BC的长度．
【解析】
∵AB的垂直平分线交AC、AB于点P、Q，
∴PA=PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
∴∠A=∠PBA（等边对等角）；
又∠A=45°，
∴∠APB=90°（三角形内角和定理），即PB⊥AC，
∵AB=，
∴AB=PA=2，
∴PA=PB=2；
∵PC=2PA=4；
在直角三角形PBC中，
BC2=PC2+PB2=16+4=20，
∴BC=2；
故答案是：4、2．