Question

本题分为A、B 两类题，你可从A、B 两类题中任选一题解答即可
（A类）：如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由．
（B类）：有人这样证明三角形内角和是180°，如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，他们将△ABC分成了三个小的三角形．因此有：三个小三角形的内角和的和比△ABC的内角和多360°，如果设三角形内角和是x，则有：x+x+x=x+360°，易解得x=180°，你认为这个证明正确吗？说说你的理由．

Answer

A类（1）由已知AB=AC和PM∥AB，QM∥AC，可推出∠PMC=∠B=∠C，∠QMB=∠C=∠B，所以得QM=QB，PM=PC，从而求出四边形AQMP的周长；
（2）由PM∥AB，QM∥AC，可推出△QMB∽△ABC，△PMC∽△ABC；
（3）当M位于BC的中点时，由已知得PM=QM=AB=AC，所以四边形AQMP为菱形．
【解析】
（1）∵AB=AC=a，
∴∠B=∠C，
又∵PM∥AB，QM∥AC，
∴∠PMC=∠B=∠C，∠QMB=∠C=∠B，
∴QM=QB，PM=PC，
∴四边形AQMP的周长为：AQ+QM+PM+AP
=AQ+QB+PC+AP
=AB+AC
=2a；

（2）由已知得：△QMB∽△ABC，△PMC∽△ABC；

（3）已知AB=AC，PM∥AB，QM∥AC，M位于BC的中点，
∴PM=QM=AB=AC，
∴AQ=PM=QM=AP，
∴四边形AQMP为菱形．