Question

设m是整数，关于x的方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（ ）
A．
B．x=-1
C．
D．有无数个根

Answer

（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，则△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，而m是整数，完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9，经过分析得到m-3=3，即m=6，方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，解得x1=，x2=．
【解析】
（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，
解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx2-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b2-4ac为完全平方数，即△=（m-1）2-4m=（m-3）2-8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m-3）2-8=n2，即（m-3）2=8+n2，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n2的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x2-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x1=，x2=，
故选C．