Question

如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

Answer

作辅助线连接BP，在易知△ACD≌△CPB的情况下，可证明R，A，Q三点共线，R，B，P三点共线，由此可证明△PQR是等边三角形．
【解析】
连接BP，
∵△ABC和△PCD都为等边三角形，
∴AC=BC，DC=PC，∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCP-∠DCB，即∠ACD=∠BCP，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=BP，
又∠RAB+∠BAC+∠QAE=180°，
∴R，A，Q三点共线，
又∠CBP=∠CAD=60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP=180°，
∴R，B，P三点共线，
又AQ=AE=AD=BP，
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP，
又∠R=60°，
∴△PQR是等边三角形，
则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．