Question

设n是正整数，d₁＜d₂＜d₃＜d₄是n的四个最小的正整数约数，若n=d₁²+d₂²+d₃²+d₄²，求n的值．

Answer

分情况讨论可知n为偶数，故d1=1．d2=2．通过证明可知n不是4的倍数．设d3=a（a为奇数），则d必为偶数，故d4=2a．则n=12+22+a2+（2a）2=5（a2+1），可见n是5的倍数，从而求出d3=5，d4=10，代入即可求得
n的值．
【解析】
若n为奇数，则d1，d2，d3，d4全为奇数，则d12+d22+d32+d42为偶数，与n为奇数矛盾，
故n为偶数，故d1=1．d2=2．
若n为4的倍数，则d3，d4必有一个为4，而n为偶数，
则另一个为奇数，d12+d22+d32+d42除以4的余数为2与题意不符，故n不是4的倍数．
设d3=a（a为奇数），则d必为偶数，故d4=2a．
则n=12+22+a2+（2a）2=5（a2+1），可见n是5的倍数，
故d3=5，d4=10，n=130．
故n的值为130．