Question

如图，已知△ABC，且S_△ABC=1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使S_BCDE=S_△BPC，求S_△DEP的最大值．

Answer

首先设S△BPC=9k，S△BPE=ak，S△DPC=bk，S△AED=x，然后根据各三角形面积的关系求得S△DEP=k，又由S△DEP=S四边形EBCD-S△BPC-S△EBP-S△DPC，即可得到方程=7-a-b，再由a+b≥2，即可求得当a=b=3时，S△DEP的值最大，则可求得答案．
【解析】
设S△BPC=9k，S△BPE=ak，S△DPC=bk，S△AED=x，
∵SBCDE=S△BPC，
∴SBCDE=16k，
∵，
∴S△DEP=k，
∵S△DEP=S四边形EBCD-S△BPC-S△EBP-S△DPC=16k-9k-ak-bk，
∴=7-a-b，
∵a+b≥2，
∴≤7-2，
∴ab+18-63≤0，
∴（+21）（-3）≤0，
∵≥0，
∴0≤≤3，
∴当a=b=3时，S△DEP最大值为k，
又∵①，x+16k=1②，
由①②得：k=，
∴S△DEP最大值为．