Question

已知抛物线y=x²+（k+1）x+1与x轴两个交点A、B不在原点的左侧，抛物线顶点为C，要使△ABC恰为等边三角形，那么k的值为    ．

Answer

画出图形，将两点之间的距离转化为根与系数的关系；再利用三角函数求出等边三角形的高的表达式，使其与抛物线的顶点纵坐标的绝对值相等，解答即可求出k的值．
【解析】
由题意A、B在原点的右侧，且，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB，
∴CD=CB•sin60°=AB•sin60°=，
又∵C点纵坐标为，
∴，
令（k+1）2=a，
则原式可化为=|1-|，
两边平方得，12a-48=a2-8a+16，
整理得，a2-20a+64=0，
解得a=4或a=16．
当a=4时，（k+1）2=4，k+1=±2，k=-3或k=1；
当a=16时，（k+1）2=16，k+1=±4，k=3或k=-5．
由于对称轴位于y轴右侧，所以-2（k+1）＞0，
解得k＜-1，
所以k=-5或k=-3．
故答案为-5或-3．