Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示：
①判断a、b、c及b²-4ac的符号；
②若|OA|=|OB|，求证：ac+b+1=0．

Answer

（1）由抛物线开口向上知a＞0，对称轴-＞0，可得b＜0，与y轴交于负半轴，知c＜0，与x轴有两个交点，可得△=b2-4ac＞0；
（2）因为|OA|=|OB|，且|OB|=|c|=-c，所以ax2+bx+c=0有一根为c即可证明；
【解析】
①由图象知：开口向上，∴a＞0，对称轴-＞0，∴b＜0，
与y轴交于负半轴，∴c＜0，与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0；

②因为|OA|=|OB|，且|OB|=|c|=-c，
所以ax2+bx+c=0有一根为c，从而ac2+bc+c=0，
又因为c≠0，所以ac+b+1=0．