Question

k、a、b为正整数，k被a²、b²整除所得的商分别为m，m+116．
（1）若a，b互质，证明a²-b²与a²、b²都互质；
（2）当a，b互质时，求k的值．
（3）若a，b的最大公约数为5，求k的值．

Answer

（1）假设出s是a2-b2与a2的最大公约数，得出a，b的关系为互质，得出s=1；证出a2-b2与a2、b2都互质；
（2）由k被a2、b2整除所得的商分别为m，m+116，得出ma2=（m+116）b2得出（a2-b2）|116b2，得出a2-b2是116的约数，116=2×2×29，进而得出k的值；
（3）假设a=5x，b=5y，得出x，y的最大公约数为1，得出m（x2-y2）=116（y）2进而得出k的值．
【解析】
（1）设s为a2-b2与a2的最大公约数，
则a2-b2=su，a2=sv，u，v是正整数，
∴a2-（a2-b2）=b2=s（v-u），可见s是b2的约数，
∵a，b互质，
∴a2，b2互质，可见s=1．
即a2-b2与a2互质，同理可证a2-b2与b2互质；

（2）由题知：ma2=（m+116）b2，
m（a2-b2）=116b2，
∴（a2-b2）|116b2，
∵（a2-b2，b2）=（a2，b2）=1，
∵（a2-b2）|116，
所以a2-b2是116的约数，116=2×2×29，
a2-b2=（a-b）（a+b），
而a-b和a+b同奇偶性，且a，b互质，
∴a2-b2要么是4的倍数，要么是一个大于3的奇数，
∴（a-b）（a+b）=29 或（a-b）（a+b）=116，
∴a-b=1，a+b=29或a-b=1，a+b=116或a-b=2，a+b=58或a-b=4，a+b=29，
解得只有一组解符合条件，
a=15，b=14，
∴m（152-142）=116×142，
∴m=4×142=784，
∴k=784×152=176400；

（3）设a=5x，b=5y，即x，y的最大公约数为1，
则m（a2-b2）=116b2，
∴即m（25x2-25y2）=116（25y）2，
∴m（x2-y2）=116（y）2，
∵x，y互质，则有：m=24×72，
∴x=15，y=14，
a=75，b=70，m=784，
k=784×752=4410000．