Question

将连续的自然数1至1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数，要使这个正方形框出的9个数之和分别为：（1）2007；（2）2008、这是否可能？若可能，请写出这9个数中的最小数和最大数；若不可能，试说明理由．

1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
…	…	…	…	…	…	…
995	996	997	998	999	1000	1001

Answer

设最小的数为x，根据图形可以知道另外8个数分别为：x+1、x+2、x+7、x+8、x+9、x+14、x+15、x+16，要求9个数之和，将这9个数加起来等于所给的数即可．
【解析】
观察图形可知，每个数比它下面的数小7，比它后边的小1．
∴设9个数中最小的一个为x，则可得出另外8个为x+1、x+2、x+7、x+8、x+9、x+14、x+15、x+16．
（1）框中9个数之和能为2007．
∵9个数之和分别为2007，
∴x+（x+1）+（x+2）+（x+7）+（x+8）+（x+9）+（x+14）+（x+15）+（x+16）=2007，
解得：x=215，即x+16=231，
∴框中9个数之和为2007，其中最小数是215，最大数是231；
（2）框中9个数之和不可能为2008．
理由：假设可以，
∵9个数之和分别为2008，
∴x+（x+1）+（x+2）+（x+7）+（x+8）+（x+9）+（x+14）+（x+15）+（x+16）=2008，
解得x=215.1，不为整数，
故假设不成立，
即框中9个数之和不能为2008．