Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=，AC=5，以点C为圆心，r为半径画圆，则当r    时，⊙C与线段AB只有一个交点．

Answer

作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E．若要⊙C与线段AB只有一个交点，则需直线和圆相切或相交，但另一个交点在BA的延长线上，应满足的数量关系是点C到AB的距离等于圆的半径或大于AC的长而小于BC的长．根据解直角三角形的知识求得CD、BC、AC的长r．
【解析】
作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E．
在直角三角形ABE中，∠ABC=45°，AB=，
∴AE=BE=4．
在直角三角形ACE中，根据勾股定理，得CE=3，
则BC=7．
在直角三角形BCD中，则CD=．
所以r为半径画圆，则当r=或5＜r＜7时，⊙C与线段AB只有一个交点．
故答案为=或5＜r＜7．