Question

将图（1）中的矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到图（2）中的△A′BC′，AB=6，BC=8．
（1）除△ADC与△C′BA′全等外，你还可以指出哪几对全等的三角形（不能添加辅助线和字母）？
（2）试证明四边形A′ECF是平行四边形；
（3）当图（2）中的BC多长时，平行四边形A′ECF的面积最大？

Answer

（1）利用平移的性质得出对应线段相等，再利用全等三角形的判定求出即可；
（2）利用平行四边形的性质，首先得出△A′DF≌△CBE，再利用A′E=CF，得出四边形是平行四边形；
（3）利用相似三角形的性质得出DF=x，进而得出平行四边形的面积，利用二次函数的增减性求出即可．
（1）【解析】
由平移的性质可知：
∵AA′=CC′，
又∵∠A=∠C′，
∠AA′E=∠C′CF=90°，
∴△AA′E≌△C′CF．
∵A′C′∥AC，
∴∠DCE=∠DFA′，
∵∠BCE+∠ECF=90°，∠A′FD+∠DA′F=90°
∴∠ECB=∠DA′F，
∵BC=A′D，∠B=∠D，
∴△A′DF≌△CBE，
有两对全等三角形，分别为：△AA′E≌△C′CF，△A′DF≌△CBE；

（2）证明：由平移的性质可知：A′E∥CF，A′F∥CE，
∴四边形A′ECF是平行四边形．
∴A′F=CE，A′E=CF．
∵A′B=CD，
∴DF=BE，
又∵∠B=∠D=90°，
∴△A′DF≌△CBE．
∴A′F=CE，DF=BE，
∵A′B=DC，
∴A′B-EB=DC-DF，即A′E=CF，
∴四边形A′ECF是平行四边形；

（3）【解析】
假设BC=x，
∴CC′=8-x，
∵AD∥BC′，
∴△DFA′∽△CFC′，
∴=，
∴=，
解得：DF=x，
∴平行四边形A′ECF的面积为：CF×BC=x2，
∴当x=8时，平行四边形A′ECF的面积最大．