Question

已知点D为等腰△ABC的底边BC的中点，P为AB线段内部的任意一点，设BP的垂直平分线与直线AD交于点E，PC与AD交于点F．求证：直线EP是△APF的外接圆的切线．

Answer

首先根据题意画出图，利用垂直平分线的性质，不难证以E为圆心、EB为半径作圆，则点P、C都在以E为圆心、EB为半径的圆周上．运用直角三角形的两直角边所对的角互余、弦所对的圆周角是所对的圆心角的一半，可得∠PAE=90°-∠ABC=90°-∠PEC．在等腰三角形EPC中，不难证明，∠EPC=90°-∠PEC．再利用切线的判定定理，可得EP是△APF的外接圆的切线．
证明：∵DG垂直平分BP，
∴EP=BE，
∵AD是等腰三角形ABC底边上的高，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=EC，
∴以E为圆心、EB为半径作圆E，则点P、C都在该圆的圆周上，
∴在Rt△ABD中，∠PAE=∠BAE=90°-∠ABC=90°-∠PEC=∠EPC，
∵在等腰三角形EPC中，∠EPC=90°-∠PEC，
∴∠PAE=∠EPC，
∴EP是△APF的外接圆的切线．