Question

O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．
（1）若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α=120°，请你通过观察或测量，填空：
①如图1，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为______；
②如图2，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为______；
（2）若正多边形为正方形，扇形的圆心角α=90°时，①如图3，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为______；
②如图4，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；
（3）若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角α为______时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．
（4）一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为______时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．

Answer

（1）此类题目往往是图形的位置变化但结论不变；
（2）连接OA、OD，根据四边形ABCD是正方形，点O为中心得到OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°再求得∠AOM=∠DON，从而证明△AOM≌△DON后得到AM=DN得到AM+AN=DN+AN=AD=a；
（3）利用正多边形的内角的求法求得正五边形的内角度数即可；
（4）圆心角等于正多边形的中心角的度数时候有上述结论．
【解析】
（1）①a；（1分）
②a；（2分）

（2）①a；（3分）
②正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a．（4分）
理由：
证明：连接OA、OD
∵四边形ABCD是正方形，点O为中心
∴OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°
又∵∠AOD=∠POQ=90°
∴∠AOM+∠AOQ=90°∠DON+∠AOQ=90°
∴∠AOM=∠DON
∴△AOM≌△DON∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a（8分）

（3）∵正五边形的内角为（5-2）×180°÷5=72°
∴当扇形纸板的圆心角α为72°时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（10分）

（4）∵正多边形的中心角为，
∴当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．（12分）