Question

如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法中：①AD=BD；②∠ACB=∠AOE；③AE=BE；④OD=DE，其中正确的序号有    ．

Answer

由AB为圆的直径，且与OD垂直，根据垂径定理得到D为AB中点，且E为弧AB的中点，即弧AE等于弧BE，由D为AB中点得到AD=BD，故选项①正确；由等弧对等弦得到AE=BE，故选项③正确；再由等弧对等角得到∠AOE=∠BOE=∠AOB，又根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，得到∠ACB=∠AOB，等量代换即可得到∠ACB=∠AOE，故选项②正确；若OD=DE，即可得到OD等于半径OA的一半，根据直角三角形中一直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角为30°，而原题没有此条件，故选项④错误．
【解析】
∵AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，
∴D为AB的中点，且=，
∴AD=BD，选项①正确；
∴AE=BE（等弧对等弦），选项③正确；
∵=，
∴∠AOE=∠BOE=∠AOB，
又∵圆心角∠AOB和圆周角∠ACB都对，
∴∠ACB=∠AOB，
∴∠AOE=∠ACB，选项②正确；
若OD=DE，得到OD=OE=OA，又△ADO为直角三角形，
∴∠OAD=30°，题中没有此条件，选项④错误，
综上，正确的选项有①②③．
故答案为：①②③