Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm．以AB为直径作圆O，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1厘米/秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2厘米/秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．
（1）求⊙O的半径长．
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数表达式，并求出当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点D作DE⊥BC于E，则四边形ABED是矩形，AB=ED，所以求出DE，就求出了圆的直径．
（2）要求四边形PQCD的面积，只需用t表达出CQ和PD．当四边形PQCD为等腰梯形时，CQ-PD=2CE，即2t-（13-t）=6，即可求出t的值，从而确定四边形的面积．
（3）先假设存在，构造直角三角形，利用勾股定理得出方程，解方程，若方程有解，则存在，若方程无解，则不存在．
【解析】
（1）过点D作DE⊥BC于E，

∵AB⊥BC，∴四边形ADEB为矩形，
∴BE=AD=13，EC=3．
又∵CD=5，
∴DE==4，即AB=4，
∴⊙O的半径为2cm．

（2）当P、Q运动t秒时，AP=t，CQ=2t
则S四边形PQCD=y=（13-t+2t）×4，即y=2t+26（0≤t≤8）
当四边形PQCD为等腰梯形时，过P作PF⊥BC于F（如图一），
则有QF=CE=3．
∴2t-（13-t）=6，
则t=．
此时四边形PQCD面积y=（cm2），

（3）存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）
作PH⊥BC于H．
∵A在⊙O上，∠A=90°，
∴AD切⊙O于A，
∵PQ切⊙O于G，
∴由切线长定理得：PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）-t=16-3t
PQ=QB+AP=16-t．
在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16-t）2=16+（16-3t）2
∴t2-8t+2=0．
解得t1=4+，t2=4-，
∵0≤t≤8，
∴当t=4±时，PQ与圆相切．