Question

同学们知道：x是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，则ax²+bx+c=0；反过来，若ax²+bx+c=0（a≠0）则x是一元二次方程ax²+bx+c=0的一根．
问题：已知实数a、b满足a²+3a-1=0，b²+3b-1=0，求：的值．

Answer

若a与b相等，直接求出所求式子的值；若a与b不相等，根据题中已知的ax2+bx+c=0（a≠0），则x是一元二次方程ax2+bx+c=0的一根，由实数a、b满足a2+3a-1=0，b2+3b-1=0，得到a与b为一个一元二次方程的两根，找出此方程中的a，b及c，计算出b2-4ac，发现其值大于0，故利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后把所求式子通分后，分子配方得到关于a+b与ab的式子，将a+b与ab的值整体代入即可求出值．
【解析】
当a=b时，=1+1=2；
当a≠b时，a与b为方程x2+3x-1=0的两个根，
∵a=1，b=3，c=-1，
∴b2-4ac=32+4=13＞0，
由根与系数的关系得：a+b=-=-3，ab==-1，
∴=．
综上，的值为2或-11．