Question

如图，直线y₁=2x与双曲线相交于点A、E．另一直线y₃=x+b与双曲线交于点A、B，与x、y轴分别交于点C、D．直线EB交x轴于点F．
（1）求A、B两点的坐标，并比较线段OA、OB的长短；
（2）由函数图象直接写出函数y₂＞y₃＞y₁的自变量x的取值范围；
（3）求证：△COD∽△CBF．

Answer

（1）由于点A在直线y1=2x与双曲线上，解方程组 ，可得点A坐标，再将求出的解集即是B点坐标，再利用勾股定理求出AO与BO的长；
（2）结合图象当x＜-2时，取同一值时，函数图象在上面是就大，得出y2＞y3＞y1；
（3）欲证△DOC∽△CBF，已有∠OCD=∠BCF，再有一角对应相等即可，求出直线AB、EB解析式，根据系数可判定他们垂直，即可得出解集．
【解析】
（1）由题意得：，
解得 ，或 ，
∴A（-2，-4），E（2，4），
将A坐标代入y3=x+b中，得b=-2，即y3=x-2，
联立得：
解得：，
∴B（4，2）；
OA=，OB=，
∴AO=BO，

（2）∵A点坐标为（-2，-4），
∴结合图象当x＜-2时，y2＞y3＞y1；

（3）设直线EB的解析式为y=k1x+b1，直线AB的解析式为y=k2x+b2，
则有 ，，
解得：，
∵k1•k2=-1，
∴AB⊥EF，∴∠CBF=∠DOC=90°
∵∠OCD=∠BCF，
∴△DOC∽△CBF．