Question

如图1是我们常用的一次性纸杯，下面我们来研究一次性纸杯的制作方法之一．如图2，取一个半径为18cm的圆形纸板，再裁下一个半径为6cm的同心圆纸板，沿半径OA、OB及CD、AB剪下，由AB、CD及线段AC和BD围成的部分即可围成纸杯侧面，然后在扇形OCD中再截去一个面积最大的圆形纸板．①、若∠AOB=60°，利用图3求裁去的面积最大的圆形纸板半径．②、①中的圆形纸板足够做纸杯的底面，但要进行简单的剪裁，至此，纸杯也就制成了，通过以上数据，请你计算一次性纸杯的高，并回答它最接近于哪一个整数值．

Answer

①当原型纸板与OC、OD、弧CD相切时面积最大，设纸板的圆心为M，作MF⊥OC，利用勾股定理即可求得纸板的半径；
②首先求得杯顶的圆的半径减去杯底的半径，利用勾股定理即可求得其高度．
【解析】
①∵原型纸板与OC、OD、弧CD相切时面积最大，
如图设纸板的圆心为M，作MF⊥OC，
设MF=x，则OM=6-x，
在Rt△MFO中，∠MOF=30°，
则OM=2MF，
即6-x=2x，
解得x=2
∴裁去的面积最大的圆形纸板半径为2cm；
②弧AB的长为=12π，
设杯子顶的半径为r，
则2πr=12π，
故r=6，
杯子顶部的半径为6cm，
同理可得杯子底边的半径为2cm
∴杯子的高为≈11.31cm
∴杯子的高最接近整数11．