Question

如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
（1）若∠A=x，∠EDF=y，求y与x的函数关系式．
（2）若∠A=90°，AB=8，BC=10，求⊙O的半径．

Answer

（1）连接OE、OF，求出∠EOF=2y，∠OEA=∠OFA=90°，根据四边形的内角和定理求出即可；
（2）根据勾股定理求出AC，推出AE=AF，CD=CF，BE=BD，∠OEA=∠OFA=∠A=90°，OE=OF，证四边形OEAF是正方形，根据AC-r+AB-r=BC代入求出即可．
【解析】
（1）连接OE、OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴∠EOF=2y，∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠A+∠EOF=360°-90°-90°=180°，
∴y=90°-x，
答：y与x的函数关系式是y=90°-x．

（2）设圆O的半径是r．
由勾股定理得：AC==6，
∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
∴AE=AF，CD=CF，BE=BD，∠OEA=∠OFA=∠A=90°，OE=OF，
∴四边形OEAF是正方形，
∴OE=OF=AE=AF=r，
∴AC-r+AB-r=BC，
∴6-r+8-r=10，
∴r=2．
答：⊙O的半径是2．