Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0）．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）求直线BB′的函数解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上求出使的所有点P的坐标．

Answer

（1）根据四边形OABC是矩形可知B（-1，3）．根据旋转的性质，得B′（3，1）．
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，利用待定系数法可解得y=-．
（2）由（1）得，N（0，），M（5，0）．设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得，利用待定系数法解得二次函数解析式为y=x2+2x+．
（3）根据矩形的面积公式可知S矩形OABC=3×1=3，则．易求得抛物线的顶点坐标为（2，），P的纵坐标是-8．当y=-8时代入二次函数解析式得-8=x2+2x+，即x2-4x-21=0．解得x1=-3，x2=7．则P1（-3，-8），P2（7，-8）．所以满足条件的点P的坐标是（-3，-8）和（7，-8）．
【解析】
（1）∵四边形OABC是矩形，
∴B（-1，3）（1分）
根据题意，得B′（3，1）（2分）
把B（-1，3），B′（3，1）代入y=mx+n中，，
解得，
∴y=-；（3分）

（2）由（1）得，N（0，），M（5，0），（4分）
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，把C（-1，0），M（5，0），N（0，）代入得
，
解得，
∴二次函数解析式为y=x2+2x+；（5分）

（3）∵S矩形OABC=3×1=3，
∴，
又∵B′C′=3，
∵B′（3，1），
∴点P到B′C′的距离为9，则P点的纵坐标为10或-8．
∵抛物线的顶点坐标为（2，），
∴P的纵坐标是10，不符合题意，舍去，
∴P的纵坐标是-8，（6分）
当y=-8时，-8=x2+2x+，
即x2-4x-21=0，
解得x1=-3，x2=7，
∴P1（-3，-8），P2（7，-8），（7分）
∴满足条件的点P的坐标是（-3，-8）和（7，-8）．（7分）