Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O₁与x轴交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，已知A（-1，0），O₁（1，0）
（1）求出C点的坐标．
（2）过点C作CD∥AB交⊙O₁于D，连接BD，求证：四边形ABDC是等腰梯形．
（3）若过点C的直线恰好平分四边形ABCD的面积，求出该直线的解析式．

Answer

（1）根据A（-1，0），O1（1，0）从而得到OA=OO1 再根据O1A=O1C进而判定△O1AC为等边三角形然后可以求得C点的坐标；
（2）连接AD，根据CD∥AB得到∠CDA=∠BAD，利用相等的圆周角所对的弧相等得到，再利用相等的弧所对的弦相等得到AC=BD，从而判定四边形ABCD为等腰梯形
（3）过D作DH⊥AB于H，根据△AOC≌△BDH，四边形COHD为矩形得到CH必平分四边形ABCD的面积，从而求得点H的坐标，然后利用待定系数法求直线CH的解析式即可．
【解析】
（1）∵A（-1，0），O1（1，0），
∴OA=OO1  又O1A=O1C…1分，
∴易知△O1AC为等边三角形…2分，
∴易求C点的坐标为（0，）…3分．

（2）证明：连接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴，
∴AC=BD，
∵直径AB于弦CD不等，
∴AC不平行BD，
∴四边形ABCD为等腰梯形…7分．

（3）解法一：过D作DH⊥AB于H，
∴△AOC≌△BDH，四边形COHD为矩形…8分，
∴CH必平分四边形ABCD的面积，
易求点H（2，0）…9分，
设直线CH的解析式为：y=kx+b，
则：，
解得 …11分，
∴直线CH的解析式：…12分．
解法二：设直线CH平分四边形ABCD的面积，并设H（x，0），
连接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴，
∴AC=BD=2，
∵S△ACH=S梯形CDBH，
∴，
∴x+1=5-x，
∴x=2，
由C（0，）和H（2，0），易求CH的解析式：．