Question

已知，如图，△ABC中，∠B=90°，BC=4cm，AC+AB=2BC，O是BC上一点，以O为圆心、OB为半径的圆与AC切于点D，交BC于点E．
（1）求CD的长；（2）求CE的长；（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）在直角三角形ABC中，设AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根据勾股定理得x的方程，求出AB和AC，由切线的性质得AD=AB，从而求出CD的长；
（2）连接BD、DE，由切线的性质得∠CDE=∠CBD，∠C=∠C，所以得△CDE∽△CBD，从而求出CE的长；
（3）由（2）求得CE的长，可求得圆的直径BE，则图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-半圆的面积．
【解析】
（1）在直角三角形ABC中，设AB=x，由已知得AC=2BC-AB=8-x，根据勾股定理得：
x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
即AB=3，则AC=8-3=5，
∵以O为圆心、OB为半径的圆与AC切于点D，
∵∠B=90°，
∴OB⊥AB，
∴AB与圆O相切，
∴AD=AB=3，
所以CD=AC-AD=5-3=2；

（2）连接BD、DE，
∵以O为圆心、OB为半径的圆与AC切于点D，
∴∠CDE=∠CBD，
又∠C=∠C，
∴△CDE∽△CBD，
∴=，
∴CE===1；

（3）BE=BC-CE=4-1=3，
∴OB=，
∴图中阴影部分的面积=三角形ABC的面积-半圆的面积
=AB•BC-π•（OB）2
=×3×4-×π×
=6-π．