Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于点E．
（1）求证：AC是∠EAB的平分线；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的长．

Answer

（1）要证明是角平分线，只要说明被AC分成的两个角相等，又因为在圆中半径相等，所以连接OC可以得到等腰三角形，也就有相等角了；
（2）因为OC∥AE所以△DCO∽△DEA，因此只要知道圆的半径就可以了，而半径又可以利用切线长定理求出，这样AE的长度就可以求出来了，根据弦切角定理∠DCB=∠DAC，所以可以把BC放到相似三角形内，根据相似三角形对应边成比例列出比例式就可以求解．
（1）证明：如图，连接OC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分线．

（2）【解析】
∵CD是⊙O的切线，
∴DC2=DB•DA，即42=2•DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴．
即．
解得AE=．
∵DC是⊙O的切线，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴==．
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2+BC2=AB2，即（2BC）2+（BC）2=62
解得BC=．