Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（1、4），B（2、n）
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象回答，当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）求△AOB的面积；
（4）在第一象限内，双曲线上是否存在一点C，使得△AOC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将点A（1、4），B（2、n）分别代入一次函数的解析式y=kx+b与反比例函数的解析式，求出k，b，m即可．
（2）观察图象，可直接得出答案．
（3）作AE⊥x轴，BF⊥x轴垂足分别为E、F，根据反比例函数k的几何意义，可得：S△AOB=S四边形AEFB即可求解；
（4）设C（a，），即可表示出△AOC的三边的长，根据勾股定理的逆定理，分情况讨论，判断m的值，从而确定C的坐标．
【解析】
（1）∵反比例函数的图象经过点A（1，4），B（2，n），
∴4=，
解得m=4，
∴反比例函数的解析式为y=．
∴n=，
∴n=2．
∴B点的坐标为（2，2）．
∵一次函数y=kx+b的图象经过A（1，4），B（2，2），
∴4=k+b，2=2k+b，
解得k=-2，b=6．
∴y=-2x+6；

（2）（2分）根据图象可知，当1＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．

（3）（4分）作AE⊥x轴，BF⊥x轴垂足分别为E、F．
则S△AOB=S四边形AEFB=（BF+AE）•EF
=（2+4）×（2-1）
=3；

（4）（4分）在第一象限内存在点C，使得△AOC是直角三角形．
理由：设C（a，）．
∵OA2=12+42=17，，，
（i）显然∠AOC≠90°；
（ii）当∠OAC=90°时，则OA2+AC2=OC2，
∴17+（17+=，
，整理，得34-，
∴a2-17a+16=0，
（a-16）（a-1）=0，
∴a1=16，a2=1．
当a=1时，不合题意，舍去．
∴a=16，则．
∴C（16，）；
（iii）当∠ACO=90°时，则AC2+OC2=OA2
∴（17-+=17，
整理得-+2a2-2a=0，
32-32a+2a4-2a3=0，
32（1-a）-2a3（1-a）=0，
（1-a）（32-2a3）=0，
∴a1=1，，
当a=1时，不合题意舍去．
∴a=，
∴（没有化简，不扣分）
∴C（，）．
综合（i）（ii）（iii）可知当C点的坐标为（16，）或（，）时，△AOC是直角三角形．