Question

已知函数y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．

Answer

将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为，因，，故函数的最小值只可能在x取a-2，时达到．所以，解决本例的关键在于分类讨论．
【解析】
∵y=（a+2）x2-2（a2-1）x+1，
∴y=（a+2）+1-，其对称轴为，
因为a为正整数，故因，，
因此，函数的最小值只能在x取a-2，a-1，时达到，
（1）当a-1=时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；
（2）a-2＜＜a-1时，即a＞1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值，
当x=a-2时，y1=（a+2）（a-2）2-2（a2-1）（a-2）+1，
当x=a-1时，y2=（a+2）（a-1）2-2（a2-1）（a-1）+1，
又y1-y2=4-a，
①当4-a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a-1，使y2为最小值；
②当4-a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；
③当4-a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a-2，使y1为最小值；
综上，（其中a为整数）．