Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，-），且在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分？如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知了抛物线的顶点坐标即可得出抛物线的对称轴方程，结合AB的长度即可求出A、B的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线的解析式易求得D点坐标，可将四边形DACB的面积分成△DAB和△ABC两部分来求；
（3）此题可通过构建相似三角形求解，过P作PF⊥x轴于F，设抛物线的对称轴与x轴的交点为E，若∠PAC被x轴平分，那么△APF∽△ACE，根据相似三角形所得到的比例线段即可求出P点的坐标．
 【解析】

（1）根据题意，得：OE=4，AE=BE=3
∴OA=1，OB=7即A（1，0）、B（7，0）
设y=a（x-1）（x-7）
∵x=4，y=-，∴a=
所求解析式为y=（x-1）（x-7）（或y=x2-x+）

（2）连接DA、AC、BC、DB
当x=0时，y=，∴D（0，）
∴S四边形DACB=S△DAB+S△ACB==

（3）假设存在点P（x，y），使x轴平分∠PAC，过点P作PF⊥x轴，垂足为点F
则△APF∽△ACE
∴=，即：
3（）=
∴x2-11x+10=0，x1=10，x2=1
当x=10时，y=
当x=1时，y=0（不合题意，舍去）
∴P（10，3）．