Question

如图，以边长为的正方形ABCD的对角线所在直线建立平面直角坐标系，抛物线y=x²+bx+c经过点B且与直线AB只有一个公共点．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求抛物线y=x²+bx+c的解析式．

Answer

（1）根据正方形对角线的性质，当AB=时，OA=OB=1，可求直线AB的解析式；
（2）把B（0，-1）代入抛物线y=x2+bx+c中得c=-1，联立直线与抛物线解析式，得方程组，消去y，得关于x的一元二次方程，当直线与抛物线有唯一公共点时，△=0，可求b；
【解析】
（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
由已知可得A（-1，0），B（0，-1）则
∴．
∴直线AB的解析式为：y=-x-1．

（2）把B（0，-1）代入抛物线y=x2+bx+c中得c=-1，联立
得x2+（b+1）x=0，
当△=0时，解得b=-1．
∴抛物线解析式为：y=x2-x-1．