Question

在正方形ABCD中直线MN经过点C，且AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，DG⊥MN于G
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADH≌△CBF；②DG=AE+BF；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，DG、BF、AE的关系怎样，证明你的结论．

Answer

（1）利用ASA，BC=AD，∠FBC=∠HDA，∠BCF=∠DAH证明△ADH≌△CBF；证明HG=AE即可求证DG=AE+BF．
（2）根据（1）中的证明可推测AE=DG+BF，继而证明即可．
证明：（1）由题意得：BC=AD，∠BFC=∠DHA=90°，
∴∠BCF=∠ABF=∠BAE=∠DAH，
∴∠FBC=∠HDA，
∴△ADH≌△CBF（ASA）；
∴BF=DH，
∵AE⊥MN，DG⊥MN，AH⊥DG，
∴四边形AEGH为矩形，故AE=GH，
DG=DH+HG=AE+BF．

（2）DG∥BF∥AE且AE=DG+BF．
过点D作DH⊥AE于点H，
∵AD=BC，∠BCF=∠EIC=∠ADH，∠AHD=∠BFC=90°，
∴△ADH≌△BCF（ASA）．
∴AH=BF，
又四边形DHEG为矩形，
∴HE=DG，
∴AE=AH+HE=DG+BF．得证．