Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC于E，点F是OE的中点，且BD∥CF．
（1）若BD=3，求BC的长．
（2）若BD平分∠CBP，求证：AB•BD=BP•AF．

Answer

（1）由直径AD⊥BC，根据垂径定理得到E为BC中点，又BD与CF平行，得到两对内错角相等，从而利用“AAS”得到三角形BDE与三角形CFE全等，根据全等三角形的对应边相等得到DE=EF，设ED=EF=x，由已知F为OE中点，得到OE=2EF=2x，OD=OA=3x，则AD=6x，再由直径AB所对的圆周角为直角得到∠ABD=90°，又根据垂直定义得到∠AEB=90°，故两个角相等，再根据∠BED为公共角，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△ABD∽△BED，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即可求出BD和DE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理求出BE的长，进而求出BC的长；
（2）连接BF，根据AB为圆的直径，得到其所对的圆周角为直角，根据直角三角形两锐角互余得到∠BAD+∠ADB=90°又根据AD与BC垂直根据垂直定义得到一个直角，同理可得∠DBE+∠ADB=90°，根据同角的余角相等得到∠BAD=∠DBE，根据角平分线定义得到∠PBD=∠DBE，利用等量代换得到∠BAD=∠PBD，由（1）可知BE垂直平分FD，故BF=BD，根据“等边对等角”得到∠BFD=∠BDF，再根据等角的邻补角相等得到一对角相等，由两对对应角相等的两三角形相似，得到△ABF∽△BPD，由相似得比例变形后得证．
【解析】
（1）∵直径AD⊥BC于E，
由垂径定理得：BE=CE，
又∵BD∥CF，
∴∠ECF=∠EBD，∠EFC=∠EDB，
∴△BED≌△CEF，
∴DE=EF，
设DE=EF=x，
又∵点F是OE的中点，
∴OE=2EF=2x，OD=OA=3x，AD=6x，
∵AD是⊙O直径，
∴∠ABD=90°，
又AD⊥BC，∴∠AEB=90°，
∴∠ABD=∠AEB，又∠BDE=∠BDE，
∴△ABD∽△BED，
∴=，即=，
解得：x=，
在直角三角形BDE中，
根据勾股定理得：BE===，
则BC=2BE=2；

（2）连接BF，AB，
∵AD是⊙O直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠BAD+∠ADB=90°
又AD⊥BC，∴∠AEB=90°，
∴∠DBE+∠ADB=90°，
∴∠BAD=∠DBE，
又∵BD平分∠CBP，
∴∠PBD=∠DBE，
∴∠BAD=∠PBD，
由（1）可知：DE=EF，且AD⊥BC，
∴BE是DF的垂直平分线，
∴BF=BD，
∴∠BFD=∠BDF，
∴∠AFB=∠BDP，
∴△ABF∽△BPD，
∴=，即AB•BD=BP•AF．