Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于F，BE的延长线交CD的延长线于G．
（1）求证：；
（2）若GE=2，BF=3，求线段EF的长．

Answer

（1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB=DE：BC；已知AE=DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论．
（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC=EF：FB，再联立（1）得出的比例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长．
证明：（1）∵AD∥BC
∴∠GED=∠GBC
∵∠G=∠G
∴△GED∽△GBC
∴
∵AE=DE
∴；（3分）

（2）∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF（4分）
∴（5分）
由（1）问
∴（6分）
设EF=x，∵GE=2，BF=3
∴（7分）
∴x1=1，x2=-6（不合题意，舍去）
∴EF=1．（9分）