Question

设x₁，x₂，…x_n是整数，并满足：
（1）-1≤x_i≤2，i=1，2，…n；
（2）x₁+x₂+…+x_n=19；
（3）x₁²+x₂²+…+x_n²=99．
求x₁³+x₂³+…+x_n³的最大值和最小值．

Answer

首先假设x1，x2，…xn中有r个-1，s个1，t个2，进而得出r，s，t的关系式，进而得出x13+x23+…+xn3=-r+s+8t=6t+19，从而确定其取值范围，利用极值法即可求出．
【解析】
设x1，x2，…xn中有r个-1，s个1，t个2，
则，
得3t+s=59，0≤t≤19，
∴x13+x23+…+xn3=-r+s+8t=6t+19，
∴19≤x13+x23+…+xn3≤6×19+19=133，
在t=0，s=59，r=40时，x13+x23+…+xn3，取得最小值19，
在t=19，s=2，r=21时，x13+x23+…+xn3=99取得最大值133．