Question

已知正方形ABCD的边长为，过正方形的顶点A和对角线交点O作⊙O′，分别交AB、AD于F、E，⊙O′的半径为．
（1）求证：AE=BF．
（2）现给出以下两个结论：①△AEF的面积不变；②的值不变．其中只有一个结论是正确的，请选择正确的结论并求其值．

Answer

（1）连接OE、OF，利用旋转及正方形的性质可证△AOE≌△BOF，可得AE=BF；
（2）连接EF，由∠EAF=90°，可判断EF为直径，由勾股定理得AE2+AF2=3，由（1）的结论可知AE+AF=AB=+1，将AE+AF=+1两边平方，可得AE•AF=2，从而计算△AEF的面积．
（1）证明：连接OE、OF，
由圆内接四边形性质可知∠EAF+∠EOF=180°，且∠EAF=90°，
∴∠EOF=90°，
由正方形的性质可知，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，OA=OB，
∴∠AOE=∠BOF，
∴△AOE≌△BOF，
∴AE=BF；

（2）【解析】
△AEF的面积不变，正确．
理由：连接EF，
∵∠EAF=90°，∴直径EF=，
由勾股定理，得AE2+AF2=3，
又AE+AF=AB=+1，
解得AE•AF=，
∴S△AEF=AE•AF=．