Question

已知：如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

Answer

（1）把C（0，4），A（4，0）代入y抛物线的解析式得到关于a与c的方程组，解方程组即可；
（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，解方程-+x+4可求得B（-2，0），则AB=6，BG=m+2，分别由QE∥AC，EG∥OC，根据三角形相似的判定得到△BEQ∽△BCA，△BEG∽△BCO，利用相似比可表示出EG=，而S△CQE=S△BCQ-S△BEQ，根据三角形的面积公式用m表示S△CQE，配成顶点式为S△CQE=-（m-1）2+3，再根据二次函数的最值问题即可得到m=1时，S△CQE有最大值3，由此确定Q的坐标．
【解析】
（1）把C（0，4），A（4，0）代入y=ax2-2ax+c（a≠0）得，
c=4，16a-8a+c=0，
解得a=-，c=4，
∴该抛物线的解析式；y=-+x+4；

（2）设点Q的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图，
解方程-+x+4=0得x1=-2，x2=4，
∴B点坐标为（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴==，
又∵EG∥OC，
∴△BEG∽△BCO，
∴==，
∴=，
∴EG=，
∴S△CQE=S△BCQ-S△BEQ
=BQ•OC-BQ•EG
=（m+2）•4-（m+2）•
=-m2+m+
=-（m-1）2+3，
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S△CQE有最大值3，此时Q点的坐标为（1，0）．