Question

已知：α、β是方程2x²+4x+1=0的两根．
（1）求：3α²+β²+4α+2的值．
（2）求作一个关于y的方程，使它的两根分别是（+）和（α-1）（β-1）．

Answer

（1）利用一元二次方程的解的定义求得2α2+4α+1=0①；然后根据韦达定理求得α+β=-2②，αβ=③；最后将所求的代数式根据完全平方公式变形为含有①②③的代数式，将①②③代入求值即可；
（2）利用根与系数的关系求得关于y的方程的两个根；然后求该方程的解析式．
【解析】
∵α、β是方程2x2+4x+1=0的两根，
∴2α2+4α+1=0，
α+β=-2，αβ=．
（1）3α2+β2+4α+2
=（2α2+4α+1）+（α2+β2）+1
=0+（α+β）2-2αβ+1
=4-1+1
=4；

（2）∵（+）2=+2+===8；
（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=+2+1=；
∴所求的方程的两个根分别是2和；
∴所求的方程可以是（y-2）（y-）=0（答案不唯一）．