Question

如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF=3CF．给出下列结论：①∠DAE=30°；②△ADE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ABF∽△ECF．其中正确的个数为（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据已知首先证△FEC∽△EAD，通过观察发现两个三角形已经具备一组对应角相等，再利用两边对应成比例即可得出三角形相似，进而求出即可，再分别利用相似三角形的判定与解直角三角形的知识求出即可．
【解析】
∵正方形ABCD，E为CD中点，
∴CE=ED=DC=AD，
∴tan∠DAE==，
∴∠DAE≠30°，故①∠DAE=30°错误；
∵正方形ABCD，E为CD中点，
∴CE=ED=DC．
∵BF=3FC，
∴FC= ED，CE=AD．
∴==，
∵∠C=∠D=90°，
∴△FEC∽△EAD．
∴∠FEC=∠DAE，
∵∠DAE+∠DEA=90°
∴∠DEA+∠FEC=90°，
∴AE⊥EF．故③AE⊥EF正确；
假设正方形边长为4a，
∴FC=a，EC=2a，
∴EF=a，
∵DE=2a，AD=4a，
∴AE=2a，
∴==，
∵∠AEF=∠D=90°，
∴△ADE∽△AEF，
故②△ADE∽△AEF正确；
∵=，
=，
∴≠，
∴△ABF与△ECF不相似，
故④△ABF∽△ECF错误．
故正确的有2个．
故选：B．