Question

如图，已知AB∥CD，AD、BC相交于点E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．
（1）求证：△AFE∽△BFA；
（2）求证：AF²=EF•FB．

Answer

（1）由已知的平行得到一对内错角相等，再由已知的两角相等，等量代换得到∠B=∠EAF，加上公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似即可得证；
（2）由（1）证得的三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，变形后即可得证．
证明：（1）∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（两直线平行内错角相等），
又∠EAF=∠C（已知），
∴∠B=∠EAF（等量代换），
又∠AFE=∠BFA（公共角），
∴△AFE∽△BFA（两对对应角相等的两三角形相似）；

（2）由（1）得到△AFE∽△BFA，
∴，
即AF2=EF•FB．