Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，5AC-3AB=0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？

Answer

由AC与AB的关系，设出AC=3xcm与AB=5xcm，再由BC的长，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而得到AB与AC的长，然后设出动点运动的时间为ts，根据相应的速度分别表示出PC与CQ的长，由△ABC和△PQC相似，根据对应顶点不同分两种情况列出比例式，把各边的长代入即可得到关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，从而得到所有满足题意的时间t的值．
【解析】
由5AC-3AB=0，得到5AC=3AB，设AB为5xcm，则AC=3xcm，
在Rt△ABC中，由BC=8cm，根据勾股定理得：25x2=9x2+64，
解得：x=2，或x=-2（舍去），
∴AB=5x=10cm，AC=3x=6cm，
设经过t秒△ABC和△PQC相似．
则有BP=2tcm，PC=（8-2t）cm，CQ=tcm，
分两种情况：
①当△ABC∽△PQC时，有，即=，解得；
②当△ABC∽△QPC时，有，即，解得t=，
综上可知，经过或秒△ABC和△PQC相似．