Question

如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＜0）的图象的顶点为点D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG上方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．

Answer

（1）求出A、C的坐标，设这个二次函数的解析式是y=a（x-3）（x+1），把C的坐标代入求出即可；
（2）求出D的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+b，把C（0，3），D（1，4）代入求出直线CD，得到E的坐标，根据平行四边形的性质求出即可；
（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，设直线AG的解析式是y=ax+c，把A、G的坐标代入求出直线AG，根据勾股定理求出AG，设P（x，-x2+2x+3），则Q（x，x+1），求出PQ，根据三角形的面积公式求出即可．
【解析】
（1）∵点B的坐标为（3，0），OB=OC，
∴C的坐标是（0，3），
∵tan∠ACO=，
∴OA=1，
∴A（-1，0），
设这个二次函数的解析式是y=a（x-3）（x+1），
把C（0，3）代入得：3=a（0-3）（0+1），
解得：a=-1，
∴y=-（x-3）（x+1）=-x2+2x+3，
答：这个二次函数的解析式是y=-x2+2x+3．

（2）存在，F点的坐标为（2，3）．
理由：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
设直线CD的解析式是y=kx+b，
把C（0，3），D（1，4）代入得：，
解得：k=1，b=3，
∴直线CD的解析式为：y=x+3
∴E点的坐标为（-3，0）
由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF，
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，3），
答：在该抛物线上存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标是（2，3）．

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
把G（2，y）代入y=-x2+2x+3得：y=3，
∴G（2，3），
设直线AG的解析式是y=ax+c，
把A、G的坐标代入得：，
解得：a=1，c=1，
直线AG为y=x+1，
由勾股定理得：AG=3，
设P（x，-x2+2x+3），则Q（x，x+1），
PQ=-x2+x+2，AH=2-（-1）=3，
S△APG=S△API+S梯形PIHG-S△AGH
=•（x+1）•（-x2+2x+3）+•（-x2+2x+3+3）•（2-x）-×（2+1）×3
=-x2+x+3
当x=-=时，△APG的面积最大，
此时P点的坐标为（，），S△APG的最大值为-×（）2+×+3=．
答：当点P运动到（，）位置时，△APG的面积最大，此时P点的坐标是（，），△APG的最大面积是．