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已知如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=manfen5.com 满分网,D是BC中点,作半径是manfen5.com 满分网的圆经过点A和D且交AB于F,交AC于E.求∠ADF的正弦值.

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连接EF,DE,根据题意,可得EF为⊙O的直径,继而推出△EDC≌△FDA,AF=CE,然后在Rt△AEF中,根据勾股定理,即可求出AF的长度,由∠ADF=∠AEF,即可推出∠ADF的正弦值. 【解析】 连接EF,ED(1分) 在△ABC中 ∵AB=AC,∠BAC=90°,BD=CD, ∴AD=,∠DAF=∠DCE=45°,∠ADC=90°,(2分) ∴∠ADE+∠EDC=90°, 在⊙O中, ∵∠BAC=90°, ∴EF是⊙O的直径,(3分) ∴∠FDE=90°, ∴∠FDA+∠ADE=90°, ∴∠EDC=∠FDA, ∴△EDC≌△FDA, ∴AF=CE,(4分) 设AF=x,则CE=x,AE=AC-CE=-x, ∵⊙O的半径是, ∴EF=, 在Rt△AEF中,, 解得, ∠ADF=∠AEF,(5分) ∴当x=1时,sin∠ADF=sin∠AEF==, 当x=时,sin∠ADF=sin∠AEF==, ∴∠ADF的正弦值为或.(7分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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