Question

如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AB=AC，E为BC的中点，BD交AC于F，交AE于G，连接CG．下列结论中：
①AE平分∠BAC，②BG=CG，③CD=CG，④若BG=6，FG=4，则DF=5，⑤DC：AB=1：3，正确的有（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

根据已知条件和“等腰三角形三线合一”，逐个进行验证，即可得出结论．
【解析】
∵梯形ABCD中，DC∥AB，AB=AC，E为BC的中点，
∴①AE平分∠BAC，正确；
∵AB=AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，AE是BC的垂直平分线，
∴②BG=CG，正确；
延长CG与AB相交于H，
∵CG=GB，
∴∠HCB=∠DBC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ACH=∠ABG，
∵BG=CG，∠FGC=∠BGH，
∴△CGF≌△BGH，
∴GH=FG=4，CG=6，
∵AB∥CD，
∴△DCG∽△BGH，
∴=，即=，
解得DF=5，故④正确．
③⑤无法判断，
故选B