Question

如图，直线与两坐标轴相交于点A、B，点P是直线AB上的动点（点P不与点B重合），PC⊥X轴，PE⊥OP，PE交矩形PCBD的边BD所在的直线于点E．
（1）求证：△POC∽△PED；
（2）设OP=x，OP+PE=y
①求y与x之间的函数关系；
②求y的最小值．

Answer

（1）先证出∠OPC=∠EPD，再根据∠OCP=∠EDP即可证出△POC∽△PED，
（2）①先求出A、B点的坐标得出AO=3，BO=4，再证明△PBC∽△ABO得出，然后由△POC∽△PED得出，即  ，从而可以求出y与x之间的函数关系，
②因为y随x的减小而减小，OP⊥AB时，y最小，求出OP的长即可得出y的最小值．
（1）证明：∵∠OPC+∠CPE=∠EPD+∠CPE=90°，
∴∠OPC=∠EPD，
∵∠OCP=∠EDP=90°，
∴△POC∽△PED；

（2）【解析】
①∵直线与两坐标轴相交于点A、B，
∴A点的坐标是（0，3），B点的坐标是（4，0），
∴AO=3，BO=4，
∵PC∥AO，
∴△PBC∽△ABO，
∴，
∵△POC∽△PED，
∴，即  ，
∴；

②∵
∴y随x的减小而减小．
由于“垂线段最短”，
所以OP⊥AB时，y最小，
所以当x=时，y的最小值为．