Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，P是AD的中点．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形AECP是菱形，并说明理由．

Answer

（1）利用CF平行且相等于AB，第一问可证；
（2）由（1）可得四边形APCE是平行四边形，当AF=BC时，即AE=EC，一组邻边相等，即可判定其为菱形．
证明：连接PE，
（1）∵P是AD的中点，E为BC的中点，
∴PE=CD=DF，∴CF=CD=AB．
又AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．

（2）当BC=AF时，四边形AECP是菱形，
由题意可得四边形AECP为平行四边形，
当BC=AF时，即AE=CE．
所以四边形AECP是菱形．