Question

如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．
（1）P是上一点（不与C，D重合），∠CPD与∠COB有何大小关系？试说明理由；
（2）点P'在上（不与C，D重合）时，∠CP'D与∠COB又有什么数量关系？为什么？

Answer

1、根据垂径定理知，弧CD=2弧BC，由圆周角定理知，弧BC的度数等于∠BOC的度数，弧AD的度数等于∠CPD的2倍，
可得：∠CPD=∠COB；
2、根据圆内接四边形的对角互补知，∠CP′D=180°-∠CPD，而：∠CPD=∠COB，∴∠CP′D+∠COB=180°．
（1）∠CPD=∠COB．…（1分）
理由：如图所示，连接OD．…（2分）
∵AB是直径，AB⊥CD，∴=，…（3分）
∴∠COB=∠DOB=∠COD．…（4分）
又∵∠CPD=∠COD，
∴∠CPD=∠COB…（5分）

（2）∠CP'D与∠COB的数量关系是∠CP'D+∠COB=180°…（6分）
理由：∵∠CPD=∠COD，∠CP'D=（360°-∠COD）=180°-∠COD，
∴∠CPD+∠CP'D=180°．…（8分）
由（1）知，∠CPD=∠COB，∴∠CP'D+∠COB=180°．…（9分）