Question

已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与D、C重合）MN为折痕；点M、N分别在边BC、AD上，连接AP、MA、MP；设AP与MN相交于F．
（1）请你在图中用直尺和圆规作出线段MP的中点O．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）与是否相等？请说明你的理由．
（3）随着点P的运动，当PM与MA垂直时，若过O点作OH⊥AD与H，并有OH=MP；设矩形ABCD的边AB为4，试确定P点的位置（图2供分析参考用）

Answer

（1）作出线段MP的垂直平分线和MP的交点即为所求的中的O；
（2）由折叠的性质知：MN⊥AP，在Rt△AFN中，cos∠FAN=，在Rt△ADP中，cos∠PAD=，由∠FAN=∠PAD，可得：，又P与D不重合，故 ≠，可得：≠不相等；
（3）作辅助线连接HO并延长交BC于J，根据折叠的性质知：MN垂直平分AP，可得：AM=PM，AM为⊙O的切线，可得：∠AMP=∠CMP+∠AMB=90°，又∠BAM+∠AMB=90°，可得：∠CMP=∠BAM，∠B=∠C=90°，可证：△ABM≌△MCD，MC=AB，BM=CP，由AD为⊙O的切线，可得：OJ⊥AD，故：JH∥CP，△MOJ∽△MPC，设PD的长为x，则PC=AB-x，OJ=PC，OH=AB-OJ可求出⊙O的半径，又MC=AB，故在Rt△MCP中，运用勾股定理可将PD的长求出进而确定P点的位置．
【解析】
（1）如图所示：

（2）与是不相等．
理由如下：
∵P，A关于MN对称，
∴MN垂直平分AP，
∴cos∠FAN=，
∵∠D=90°，
∴cos∠PAD=，
∵∠FAN=∠PAD，
∴，
∵P不与D重合，P在边DC上，
∴AD≠AP，
∴≠，
∴≠；

（3）∵AM是⊙O的切线，
∴∠AMP=90°，
∴∠CMP+∠AMB=90°，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CMP=∠BAM，
∵MN垂直平分AP，
∴MA=MP，
∵∠B=∠C=90°，
∴△ABM≌△MCP，
∴MC=AB=4，
设PD=x，则CP=4-x，
∴BM=PC=4-x，
连接HO并延长交BC于J，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠JHD=90°，
∴HDCJ为矩形，
∴OJ∥CP，
∴△MOJ∽△MPC，
∴OJ：CP=MO：MP=1：2，
∴OJ=（4-x），
OH=MP=4-OJ=（4+x），
∵MC2=MP2-CP2，
∴（4+x）2-（4-x）2=16，
解得：x=1，即PD=1，PC=3，
∴点P在离点C3个单位处．