已知抛物线y=x2+mx+3的顶点是A，与x轴的两个交点B和C，且∠BAC是直角...

已知抛物线y=x²+mx+3的顶点是A，与x轴的两个交点B和C，且∠BAC是直角三角形，求实数m的值和抛物线的顶点坐标．

先根据题意画出图形，用m分别表示出A、B、C和对称轴与x轴的交点D的坐标，然后根据Rt△ABC是等腰直角三角形，由于直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：BD=AD，代入各值即可求出m的值，继而求出顶点坐标．【解析】如图，设对称轴与x轴的交点为D，则有：，，，由抛物线的对称性可知 Rt△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点．根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知：BD=AD， ∴（或在Rt△ABC中 BC2=AB2+AC2，）解得：（使△=0，舍去）当m=4时，A的坐标为（-2，-1）；当m=-4时，A的坐标为（2，-1）．…（2分）

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