Question

如图1，一架4米长的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子AB与地面OM的倾斜角α为60°．
（1）求AO与BO的长； 
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，如图2，设A点下滑至C点，B点向右滑行至D点．若AC：BD=2：3，试求梯子顶端A沿NO
下滑多少米； 
（3）若梯子顶端A沿NO下滑，如图3，设A点下滑至C点，B点向右滑行至D点，梯子AB的中点P，也随之运动到点Q，若∠POQ=15°，试求AC的长．

Answer

（1）在直角△AOB中，已知斜边AB，和锐角∠ABO，即可根据正弦和余弦的定义求得OA，OB的长；
（2）利用AC：BD=2：3，设AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米，利用勾股定理列出关系式即可求得下滑的长度；
（3）根据P、Q分别是Rt△AOB和Rt△COD斜边上的中线求得PO=PA、QO=QC，从而得到∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ，然后求得QCO=45°，利用解直角三角形求得AC的长即可．
【解析】
（1）Rt△AOB中，∠AOB=90°α=60°∠OAB=30°
AB=4米  OB=2米  AO=2米 …（2分）

（2）设AC=2x（米） BD=3x（米）CD=4米
Rt△COD中…（2分）
解得 （舍去）AC=2x=（米）…（3分）
梯子的顶端沿NO下滑米…（1分）

（3）∵P、Q分别是Rt△AOB和Rt△COD斜边上的中点
∴PO=PA，QO=QC
∴∠PAO=∠AOP∠QCO=∠COQ…（2分）
∴∠QCO-∠PAO=∠POQ=15°
∵∠PAO=30°
∴∠QCO=45°…（2分）
CO=CD×cos45°=，
 AC=AO-CO=（米）．